Electromagnetismo Actividad Nro 3

1.- ¿A que es igual el producto escalar de dos vectores en plano cartesiano?

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como  A · B, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores A y B, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

A = A_xi + A_yj + A_zk

B = B_xi + B_yj + B_zk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = j · j = k · k =  1

i · j = i · k = j · k = 0

el resultado de multiplicar escalarmente A por B es:

A · B = A_x· B_x +A_y · B_y+ A_z · B_z

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :

A · B = |A| · |B| · cos (A, B)

2.- Dado una carga eléctrica definida por el vector A y

A = -A_x + 2A_y - 2A_z

Hallar:

a)     ¿Cual es la magnitud del vector?

b)     ¿Calcular la expresión del vector unitario de A_x En dirección de A.?

c)     ¿Qué angulo forma A con el eje Z?

a)¿Cual es la magnitud del vector?

A = Ö(-A )² + (2A )² + (- 2A) ²

A = Ö A² + 4A² + 4A ²

A = Ö 9A ²

A = 3A

b)¿Calcular la expresión del vector unitario de A_x En dirección de A.?

U = A / ΙAΙ

 ΙAΙ = Ö(-A )² + (2A )² + (- 2A) ²

ΙAΙ = Ö A² + 4A² + 4A ²

ΙAΙ = Ö 9A ²

ΙAΙ = 3A

U = A / ΙAΙ

U =  -A_x / 3A_x  +  2A_y / 3A  -  2A_z / 3A   ₌                    

 U = - 1/3 A_x + 2/3 A_y + 2/3 A_z

c)¿Qué angulo forma A con el eje Z?

Tgθ = Ö (A_x )² + (A_y )² / - 2A_z

Tgθ = Ö (-A )² + (2A )² / - 2A

θ = Tg-¹ Ö A ² + 4A² / - 2A

θ = Tg-¹ Ö 5A ² / -2 A

θ = Tg-¹ Ö 5       / -2

3.- ¿dado el campo eléctrico cuya expresión viene dada por la expresión 

E = 5A_x – 2A_y + A_z  y el campo magnético H = -3A_x + 4A_z

Hallar:

a)                 Calcular el producto escalar de los dos campos E.H

b)              ExH

c)                  El angulo que hay θEH

a)Calcular el producto escalar de los dos campos E.H

(E · H) = E_x· H_x +E_y · H_y+ E_z · H_z

(E · H) = ( 5A_x – 2A_y + A_z  ) (-3A_x + 4A_z)

(E · H) = ( -15 – 0 + 4 )

(E · H) = ( -11)

b) ExH

                                                                                               A_x          A_y          A_z

ExH = ( 5A_x – 2A_y + A_z  ) x (-3A_x + 4A_z)   =                     5          -2        1          =

                                                                                              -3        0          4

ExH = -8 A_x – 23A_y - 6A_z

c)El ángulo que hay θEH

E = Ö E E      = Ö (5A_x – 2A_y + A_z )(  5A_x – 2A_y + A_z )

E = Ö E E      =Ö (25 + 4 + 1 )

E = Ö E E      =Ö 30

H = Ö H H      = Ö (-3A_x + 4A_z) (-3A_x + 4A_z)

H = Ö H H      = Ö (9 + 16)

H = Ö H H      = Ö (25)

H = Ö H H     = 5

Cosθ =              A_x· B_x +A_y · B_y + A_z · B_z

                   Ö A_x²+ A_y² + A_z²  Ö B_x²+ B_y² + B_z²

CosθEH =  E · H/ E · H = 11 / 5Ö 30                0,4016

θEH = Cos-¹0,4016 = 113,6°

4.- Dados los puntos: P₁ (1,3,2) a P₂ (3,-2,4):

a) Escriba la expresión del campo E  que va desde P₁ (1,3,2) a P₂ (3,-2,4) en coordenadas cartesianas.

Como los componentes del vector son P₁  y P₂ la expresión del campo  vendrá determinado por las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:

E = ( (3-1), (-2-3),(4-2) ) = (2, -5, 2)

b)     Determinar la longitud de P₂ a P₁

Para calcular la longitud calculamos el modulo del vector E resultante del ejercicio anterior:

E=(2,-5,2) y su modulo viene determinado por:

|E|= √ ((2)²+(-5)²+(2)²)= √ (4+25+4)= |E|= √33

c) Cuál es la distancia más corta desde el origen a vector?

La distancia mas corta desde el origen al vector E, vendrá dado por un vector perpendicular a él y que parta del origen. Para calcularlo, encontremos el ángulo entre E y P1, aplicando  la definición de producto   escalar:


P1.E = |E|.| P₁|.CosαE P₁


|P₁| = √ ((1)²+(3)²+(2)²) = √ (1+9+4) = √14

P1.E = ((1+3)+(3+(-5))+(2+2) ) = (4-2+4) = 6

Ahora despejamos y sustituimos los valores hayados:

αE P_{1 =} arccos (P1.E / |E|.| P₁|) = arccos (6/(√33. √14) = 73.79º

Ahora aplicando la definición del seno hallaremos la altura del triangulo que forma el vector perpendicular a E:

senαE P_{1 =} altura (distancia mas corta del vector E al origen) /  | P₁|

altura = senαE P_1.| P₁| = sen 73.79º . √14 = 3.59

La distancia más cerca del origen es 3.59.

Electromagnetismo Actividad Nro 2

1.- ¿ A Que es  igual A.( B x C )?

Es llamado producto mixto (también conocido como triple producto escalar) de los vectores A, B y C, en este orden, al escalar que resulta de multiplicar escalarmente por A el producto vectorial de B por C. Esto es

Geométricamente es el área de un paralelepípedo, ejemplo:

El producto mixto de tres vectores dados en función de los vectores cartesianos es:

se calcula del siguiente modo:

Es decir que el producto mixto de tres vectores es el determinante de la matriz definida por las componentes cartesianas de los tres vectores.

2.- Demostrar si se cumple: A . (B x C) = B . (C x A) = C . (A x B)

Teniendo en cuenta que el valor de un determinante no varía cuando se realiza un número par de permutaciones entre sus filas (o columnas), se deduce fácilmente que

o sea

de modo que el producto mixto admite la permutación circular entre los vectores que lo integran sin modificar el resultado.

3.- ¿En que condiciones puede ser negativo el producto punto de dos vectores?

      Si el ángulo entre los vectores es mayor que 90º pero menor que 180º el producto es negativo.

4.-Escriba los resultados del producto vectorial y escalar de los vectores A y B, si:

a) A ll B

         

Como los vectores están en paralelo, el ángulo entre ellos es 0º ó 180º, por lo que aplicando la definición nos queda:

A.B = lAl . lBl . cos 0º = lAl . lBl

A.B = lAl . lBl . cos 180º = - lAl . lBl

AxB = lAl . lBl . sen 0º = 0
AxB = lAl . lBl . sen 180º = 0

b) A ┴ B

Como los vectores son perpendiculares, el ángulo entre ellos es 90º ó 270°, por lo que aplicando la definición nos queda:

A.B = lAl . lBl . cos 90º = 0

A.B = lAl . lBl . cos 270º = 0

AxB = lAl . lBl . sen 90º = lAl . lBl

la dirección de Z es saliendo del plano

AxB = lAl . lBl . sen 270º = -lAl . lBl

la dirección de Z es saliendo del plano

c) B ┴ A

Como los vectores son perpendiculares, el ángulo entre ellos es 90º ó 270º, por lo que aplicando la definición nos queda:

A.B = lAl . lBl . cos 90º = 0

A.B = lAl . lBl . cos 270º = 0

AxB = lAl . lBl . sen 90º = lAl . lBl

la dirección de Z es entrando en el plano

AxB = lAl . lBl . sen 270º = -lAl . lBl

la dirección de Z es entrando en el plano

5.- Dado los vectores A y B como se calcula:

a) La componente de A en dirección de B

b) La componente de B en dirección de A

a) La componente de A en la dirección de B es el producto escalar de A por el vector unitario de B:

        AB = A.B 

                   lBl

b) La componente de B en la dirección de B es el producto escalar de A por el vector unitario de A:

        BA = B.A 

                   lAl

6.- Si A.B = A.C; esto implica que B=C

A.B = A.C 

No se puede deducir que B y C sean iguales (aunque pueden serlo) 

Por ejemplo 

A = (1,1,1) 

B = (1,2,3)

 
C = (6,1,-1)

A.B = (1,1,1).(1,2,3) = 1+2+3 = 6 

A.C = (1,1,1).(6,1,-1) = 6+1-1 = 6 

o sea, A.B = A.C, pero B y C son completamente diferentes. 


Si existiera el elemento inverso para el producto escalar sí sería cierto, pero no es así ( en ese caso, multiplicando a ambos lados por el inverso de A, éste término se cancelaría y nos quedaría B = C, pero no es el caso)

7.- Si AxB = AxC; esto implica que B=C.  

De igual manera, “no necesariamente” sí y sólo si y el ángulo entre A y B es igual al ángulo formado por A y C y además el módulo de B y C sean iguales.

Si hacemos la igualdad:

AxB = AxC

lAl . lBl . sen αAB = lAl . lCl . senαAC

lBl . senαAB = lCl . senαAC

Por lo tanto para que se cumpla deben ser idénticos en módulo y ángulo.